Question

【題目】如圖，正三角形ABC內接于⊙O，P是BC上的一點，且PB＜PC，PA交BC于E，點F是PC延長線上的點，CF=PB，AB=，PA=4．

（1）求證：△ABP≌△ACF；

（2）求證：AC2=PAAE；

（3）求PB和PC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）PB=1，PC=3．

【解析】試題分析：（1）先根據等邊三角形的性質得到AB=AC，再利用圓的內接四邊形的性質得∠ACF=∠ABP，于是可根據“SAS”判斷△ABP≌△ACF；

（2）先根據等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，再根據圓周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判斷△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到結論；

（3）先利用AC2=PAAE計算出AE= ，則PE=AP-AE= ，再證△APF為等邊三角形，得到PF=PA=4，則有PC+PB=4，接著證明△ABP∽△CEP，得到PBPC=PEA=3，然后根據根與系數的關系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的兩實數解，再解此方程即可得到PB和PC的長．

試題解析：

（1）∵∠ACP+∠ABP=180°，

又∠ACP+∠ACF=180°，

∴∠ABP=∠ACF

在和中，

∵AB=AC，∠ABP=∠ACF，

∴≌．

(2)在和中，

∵∠APC=∠ABC，

而是等邊三角形，故∠ACB=∠ABC=60，

∴∠ACE =∠APC .

又∠CAE =∠PAC ，

∴∽

∴,即.

由（1）知≌，

∴∠BAP=∠CAF，

∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC

∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC＝∠ABC＝60°.

∴是等邊三角形

∴AP=PF

∴

在與中，

∵∠BAP=∠ECP ，

又∠APB=∠EPC=60°，

∴∽

∴,即

由（2），

∴

∴

∴

因此PB和PC的長是方程的解．

解這個方程，得， ．

∵PB<PB，∴PB=，PC=，

∴PB和PC的長分別是1和3。