Question

【題目】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．

（1）如圖1，若將線段AB繞點B逆時針旋轉90°得到線段BD，連接AD，則△ABD的面積為　 　．

（2）如圖2，點P為CA延長線上一個動點，連接BP，以P為直角頂點，BP為直角邊作等腰直角△BPQ，連接AQ，求證：AB⊥AQ；

（3）如圖3，點E，F為線段BC上兩點，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，點M是線段AF上一個動點，點N是線段AC上一個動點，是否存在點M，N，使CM+NM的值最小，若存在，求出最小值：若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）36；（2）詳見解析；（3）存在，最小值為3．

【解析】

（1）根據旋轉的性質得到△ABD是等腰直角三角形，求得AD＝2BC＝12，根據三角形的面積公式即可得到結論；

（2）如圖2，過Q作QH⊥CA交CA的延長線于H，根據等腰直角三角形的性質，得到PQ＝PB，∠BPQ＝90°，根據全等三角形的性質得到PH＝BC，QH＝CP，求得CP＝AH，得到∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到結論；

（3）根據已知條件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如圖3，作點C關于AF的對稱點D，過D作DN⊥AC于N交AF于M，則此時，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，求得AD＝AC＝6，根據直角三角形的性質即可得到結論．

解：（1）∵將線段AB繞點B逆時針旋轉90°得到線段BD，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AD，

∴AD＝2BC＝12，

∴△ABD的面積＝ADBC＝12×6＝36，

故答案為：36；

（2）如圖，過Q作QH⊥CA交CA的延長線于H，

∴∠H＝∠C＝90°，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴PQ＝PB，∠BPQ＝90°，

∴∠HPQ+∠BPC＝∠QPH+∠PQH＝90°，

∴∠PQH＝∠BPC，

∴△PQH≌△BPC（AAS），

∴PH＝BC，QH＝CP，

∵AC＝BC，

∴PH＝AC，

∴CP＝AH，

∴QH＝AH，

∴∠HAQ＝45°，

∵∠BAC＝45°，

∴∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∴AB⊥AQ；

（3）如圖，作點C關于AF的對稱點D，過D作DN⊥AC于N交AF于M，

∵∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，∠BAC＝45°，

∴∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，

∴∠EAC＝30°，

則此時，CM+NM的值最小，且最小值＝DN，

∵點C和點D關于AF對稱，

∴AD＝AC＝6，

∵∠AND＝90°，

∴DN＝AD＝6＝3，

∴CM+NM最小值為3．