Question

如圖，AC是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，點B是⊙O上的一點，且∠BAC＝30º，∠APB＝60º.

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求弦AB及PA，PB的長.

Answer 1

（1）見解析；（2）2

試題分析：（1）連接OB，證PB⊥OB．根據四邊形的內角和為360°，結合已知條件可得∠OBP=90°得證；
（2）連接OP，根據切線長定理得直角三角形，根據含30度角的直角三角形的性質即可求得結果。
（1）連接OB．
∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30°．               
∴∠AOB=80°-30°-30°=20°．             
∵PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°．
∵四邊形的內角和為360°，
∴∠OBP=360°-90°-60°-20°=90°．        
∴OB⊥PB．
又∵點B是⊙O上的一點，
∴PB是⊙O的切線．                           
（2）連接OP，

∵PA、PB是⊙O的切線，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=，∠APB=30°．          
在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，
∴OP=2OA=2×2=4．                            
∴PA=OP²-OA²=2
∵PA=PB，∠APB=60°，
∴PA=PB=AB=2。
點評：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．