Question

【題目】定義：到三角形的兩邊距離相等的點，叫做此三角形的準內心．

（1）求證：等腰三角形底邊的中點是它的準內心；

（2）如圖，在△ABC中，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線EF，分別交AB與AC的延長線于點E，F．若點D是△ABC的準內心，AE＝6，tan∠CFD＝，求EB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EB＝

【解析】

（1）要證等腰三角形底邊的中點是它的準內心即證明底邊中點到兩腰的距離相等，添加輔助線，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，依據等腰三角形的性質，結合已知條件可判斷出△BDM≌△CDN，即可知DM＝DN，結論得證;（2）由圖可知EB＝AB﹣AE，題中已知AE＝6，故只用求出AB即可，因為tan∠CFD＝，很明顯需要直角三角形，因此可連接OD，EF是⊙O的切線，所以OD⊥EF，出現直角，而已知的邊是AE的長可以證明AE⊥EF，根據正切值可求出EF長，由勾股定理求出AF長，顯然,OD∥AB，可得△ODF∽△AEF，相似三角形對應線段成比例即可求出OD長，AB長可相應得出.

（1）已知：△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，

求證：D是△ABC的準內心；

證明：DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如圖1所示：

則∠DMB＝∠DNC＝90°，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵D是BC的中點，

∴BD＝CD，

在△BDM和△CDN中，

，

∴△BDM≌△CDN（AAS），

∴DM＝DN，

∴D是△ABC的準內心；

（2）連接OD，如圖2所示：

∵OA＝OC＝OD，

∴OD＝AC，

∵點D是△ABC的準內心，

∴點D到AB、AC的距離相等，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠B＝∠C，

∴AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵OA＝OC，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AB，

∵EF是⊙O的切線，

∴OD⊥EF，

∴AB⊥EF，

∵tan∠CFD＝＝，

∴EF＝＝8，

∴AF＝＝10，

∵OD∥AB，

∴△ODF∽△AEF，

∴＝，即＝，

解得：OD＝，

∴AB＝AC＝2OD＝，

∴EB＝AB﹣AE＝﹣6＝．