Question

【題目】如圖，CD是⊙O的直徑，點A為圓上一點不與C，D點重合，過點A作⊙O的切線，與DC的延長線交于點P，點M為AP上一點，連接MC并延長，與⊙O交于點F，E為CF上一點，且MA＝ME，連接AE并延長，與⊙O于點B，連接BC，AC．

（1）求證：＝；

（2）若PCPD＝7，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）連接AF，利用切線的性質，可得∠MAC＝∠F，再利用同角對同弧，即可解答

（2）連接AD，利用切線的性質可得∠MAC＝∠D，即可證明△PAC∽△PDC，即可解答

（1）證明：連接AF，如圖1所示：

∵PA是⊙O的切線，

∴∠MAC＝∠F，

∵MA＝ME，

∴∠MAE＝∠MEA，

∵∠MAE＝∠MAC+∠BAC，∠MEA＝∠F+∠BAF，

∴∠BAC＝∠BAF，

∴弧BC=弧BF；

（2）解：連接AD，如圖2所示：

∵PA是⊙O的切線，

∴∠MAC＝∠D，

∵∠P＝∠P，

∴△PAC∽△PDC，

∴，

∴PA2＝PCPD＝7，

∴PA＝．