Question

【題目】如圖，在ABCD中，∠BAC=90°，對角線AC，BD相交于點P，以AB為直徑的⊙O分別交BC，BD于點E，Q，連接EP并延長交AD于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）求證：=4BPQP．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）連接OE，AE，由AB是⊙O的直徑，得到∠AEB=∠AEC=90°，根據四邊形ABCD是平行四邊形，得到PA=PC推出∠OEP=∠OAC=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）由AB是⊙O的直徑，得到∠AQB=90°根據相似三角形的性質得到=PBPQ，根據全等三角形的性質得到PF=PE，求得PA=PE=EF，等量代換即可得到結論．

試題解析：（1）連接OE，AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴PA=PC，∴PA=PC=PE，∴∠PAE=∠PEA，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OEP=∠OAC=90°，∴EF是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠AQB=90°，∴△APQ∽△BPA，∴，∴=PBPQ，在△AFP與△CEP中，∵∠PAF=∠PCE，∠APF=∠CPE，PA=PC，∴△AFP≌△CEP，∴PF=PE，∴PA=PE=EF，∴=4BPQP．