Question

【題目】如圖，在 RtABC 中，ACB 90 ，點 E 為 AB 中點，經過 A 、C 、E 三點的⊙O 與 BC的延長線相交于點 D ，過點 D 的直線交 AB 的延長線于點 F ，且FDB CED 。

（1）求證： DF 為⊙O 的切線；

（2）若 AE ，CD 1，求 DF ；

（3）若 BF mBE ，求sin BAC （用含 m 的代數式表示）.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接AD，由圓周角定理可得到∠CED=∠CAD,進而證得∠CAD=∠FDB, ∠ADF=90°，所以得到DF 為⊙O 的切線；

（2）先證得AD=BD，再設BC=x，則BD=1+x=AD,根據勾股定理列出解得x=3, AD=4,再求得，再證得∠ADE=∠F并根據它們的正切值相等列出方程，即可求出DF；

（3）設BE=a,則BF=ma,AE=a,AF=(m+2)a,EF=（m+1）a，由射影定理可證，，，再證得∠ADE=∠BDE=∠BAC=∠F，則

（1）連接AD

∵∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠ADC=90°，AD是直徑.

∵∠CED=∠CAD, ∠CED=∠FDB,

∴∠CAD=∠FDB,

∴∠ADC+∠FDB=90°，即∠ADF=90°，

∴DF 為⊙O 的切線；

(2) ∵∠ACD=90°，

∴AD是直徑，

∴DE⊥AB,

∵點 E 為 AB 中點,

∴DE是AB的中垂線，

∴AD=BD

設BC=x，則BD=1+x=AD,

在Rt△ABC中，

Rt△ACD中，

∴

解得（舍去），

∴AD=4

在Rt△ADE中，,

由已知易證∠ADE=∠F

∴

∴

(3)設BE=a,則BF=ma,

AE=a,AF=(m+2)a,EF=（m+1）a

在Rt△ADF中，由射影定理可證

∵∠ADF=90°，DE垂直平分AB, ∠ACD=90°，

∴∠ADE=∠BDE=∠BAC=∠F,

∴