Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內的點B在l上，連結OB，動點P滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C．

（1）當動點P與點B重合時，若點B的坐標是（2，1），求PA的長．

（2）當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA：PC的值．

（3）在（2）的條件下，已知AB=3，OB:BP=3：1，求四邊形AOCP的面積.

Answer 1

【答案】（1）、PA=2；（2）、1:1；（3）、16.

【解析】

試題分析：（1）、根據點P與點B重合，得出PA的長度；（2）、過點P作PM⊥x軸，過點P作PN⊥y軸，根據點A的縱坐標和點B的橫坐標相等得出OA=OB，根據∠OAB=90°可得∠AOB=∠ABO=45°，結合角度之間的關系得出△ANP和△CMP全等得出PA=PC，從而得到比值；（3）、根據∠ANP=∠MON=∠OMP =90°得出四邊形OMPN為矩形，根據PM=PN得出四邊形OMPN為正方形，根據OA=AB=3，得出OB、BP、OP的長度，根據△ANP和△CMP全等得出四邊形的面積.

試題解析：（1）、∵點P與點B重合，點B的坐標是（2，1），

∴點P的坐標是（2，1）．

∴PA的長為2．

（2）、過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示

∵點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，

∴OA=AB．

∵∠OAB=90°，

∴∠AOB=∠ABO=45°

∵∠AOC=90°，

∴∠POC=45°

∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，

∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=∠OMP =90°

∴∠NPM=90°

∵∠APC=90°

∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM

在△ANP和△CMP中，

∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP，

∴△ANP≌△CMP．

∴PA=PC．

∴PA：PC的值為1：1

（3）、∵∠ANP=∠MON=∠OMP =90°

∴四邊形OMPN為矩形

∵PM=PN

∴四邊形OMPN為正方形

∵∠OAB=90°，OA=AB=3

∴OB=

∵OB:BP=3：1

∴BP=

∴OP=

∴正方形OMPN=

∵△ANP≌△CMP．

∴S△ANP≌S△CMP．

∴四邊形AOCO=正方形OMPN=16