Question

【題目】（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB．

求證：CA+AD=BC．

小明為解決上面的問題作了如下思考：作△ADC關于直線CD的對稱圖形△A′DC，

∵CD平分∠ACB，∴A′點落在CB上，且CA′=CA，A′D=AD．因此，要證的問題轉化為只要證A′D=A′B．請根據小明的思考寫出該問題完整的證明過程．

（2）參照（1）中小明的思考方法，解答下列問題：

如圖3，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）21.

【解析】

（1）作△ADC關于CD的對稱圖形△A′DC，再證明AD=BA′即可；

（2）如圖，作△ADC關于AC的對稱圖形△A′DC．過點C作CE⊥AB于點E，則D′E=BE．設D′E=BE=x．在Rt△CEB中，CE2=CB2﹣BE2=102﹣x2，在Rt△CEA中，CE2=AC2﹣AE2=172﹣（9+x）2．由此構建方程即可解決問題；

（1）證明：作△ADC關于CD的對稱圖形△A′DC，

∴△ADC≌△A′DC，

∴A′D=AD，C A′=CA，∠CA′D=∠A=60°，

∵CD平分∠ACB，

∴A′點落在CB上

∵∠ACB=90°，

∴∠B=90°﹣∠A=30°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=45°

在△ACD中，∠ADC=180°﹣∠A﹣∠A CD=75°

∴∠A′DC=∠ADC=75°，

∴∠A′DB=180°﹣∠ADC﹣∠A′DC=30°，

∴∠A′DB=∠B，∴A′D=A′B，

∴CA+AD=CA′+A′D=C A′+A′B=CB．

（2）如圖，作△ADC關于AC的對稱圖形△A′DC．

∴△ADC≌△A′DC,

∴D′A=DA=9，D′C=DC=10，

∵AC平分∠BAD，∴D′點落在AB上，

∵BC=10，∴D′C=BC，

過點C作CE⊥AB于點E，則D′E=BE．

設D′E=BE=x．

在Rt△CEB中，CE2=CB2﹣BE2=102﹣x2，

在Rt△CEA中，CE2=AC2﹣AE2=172﹣（9+x）2．

∴102﹣x2=172﹣（9+x）2，

解得：x=6，

∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21．