Question

已知：點A、B分別在直角坐標系的x、y軸的正半軸上，O是坐標原點，點C在射線AO上，點D在線段OB上，直線AD與線段BC相交于點P，設=a，=b，=k．
（1）如圖1，當a=，b=1時，請求出k的值；
（2）當a=，b=1時（如圖2），請求出k的值；當a=，b=時，k=______；
（3）根據以上探索研究，請你解決以下問題：①請直接寫出用含a，b代數式表示k=______；②若點A（8，0），點B（0，6），C（-2，0），直線AD為：y=-x+4，則k=______．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=，b=1時，由條件可以得知設=，=1，可以得出D、C是OB、OA的中點，作DE∥OA交BC于點E，根據三角形的中位線定理和平行線分線段成比例定理可以得出結論．
（2）如圖2，作DF∥OA交BC于點F，根據三角形相似的性質和平行線分線段成比例定理可以同（1）一樣的方法得出結論，如圖3，作GB∥OC交PA于點G，可以得出△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．由相似三角形的性質及在a=，b=的情況下就可以得出結論．
（3）①通過（1）、（2）的計算就可以得出：a=，b=1時，k===，a=，b=1時，k=，當a=，b=時，k=，從而可以得出結論：k=；
②根據直線AD的解析式y=-x+4可以求出D點的坐標，從而求出OD的值，再由點A（8，0），點B（0，6），C（-2，0）就可以求出AO，CO，AC的值，從而可以求出a、b的值，直接運用k=就可以求出結論．
解答：解：（1）如圖1，作DE∥OA交BC于點E，
∵=a，=b，且a=，b=1，
∴=，=1，
∴AO=2AC，BD=DO，
∴D、C是OB、OA的中點．
∴OC=AC．
∵DE∥OA，
∴BE=CE，
∴DE=OC，
∴DE=AC．
∵DE∥OA，
∴△DEP∽△ACP，
∴，
∴，
∴PC=2PE，
∴EC=3PE，
∴BE=3PE，
∴BP=4PE．
∴=，
∵=k，
∴k=；
（2）如圖2，作DF∥OA交BC于點F，
∵=a，=b，且a=，b=1，
∴=，=1
∴AO=3AC，BD=DO，
∴OC=2AC．
∵DF∥OA，
∴BF=CF，DF=OC，
∴DF=AC．
∵DF∥OA，
∴△DFP∽△ACP，
∴=1，
∴PF=PC，
∴CF=2PC，
∴BP=3PC，
∴，
∵=k，
∴=，
∴k=；
如圖3，作GB∥OC交PA于點G，
∴△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．
∴，．
∵=a，=b，
a=，b=時，
∴=，=
∴2AC=3AO，，
∴AC=AO，AO=5GB，
∴AC=GB，
∴=．
∵=k，
∴k=；
（3）①通過（1）、（2）的計算就可以得出：
a=，b=1時，k===，
a=，b=1時，k=，
a=，b=時，k=，
從而可以得出結論：k=；
②如圖4，∵AD的解析式y=-x+4，
∴當x=0時，y=4，
∴D（0，4），
∴OD=4，
∵點A（8，0），點B（0，6），C（-2，0），
∴OA=8，OB=6，OC=2，
∴AC=10，BD=2.2
∵=a，=b，
∴a=，b=，
∴k=
故答案為：，，．
點評：本題是一道相似形綜合試題，考查了作平行線在相似形中的運用，相似三角形的判定及性質的運用，由特殊到一般的數學思想的運用，解答是尋找k與a、b之間的關系式是關鍵．