Question

已知：點A、B分別在直角坐標系的x、y軸的正半軸上，O是坐標原點，點C在射線AO上，點D在線段OB上，直線AD與線段BC相交于點P，設

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，

CP

PB

=k．
（1）如圖1，當a=

1

2

，b=1時，請求出k的值；
（2）當a=

1

3

，b=1時（如圖2），請求出k的值；當a=

3

2

，b=

1

5

時，k=

15

2

；
（3）根據以上探索研究，請你解決以下問題：①請直接寫出用含a，b代數式表示k=

a

b

；②若點A（8，0），點B（0，6），C（-2，0），直線AD為：y=-

1

2

x+4，則k=

5

2

．

Answer 1

分析：（1）當a=

1

2

，b=1時，由條件可以得知設

AC

AO

=

1

2

，

BD

DO

=1，可以得出D、C是OB、OA的中點，作DE∥OA交BC于點E，根據三角形的中位線定理和平行線分線段成比例定理可以得出結論．
（2）如圖2，作DF∥OA交BC于點F，根據三角形相似的性質和平行線分線段成比例定理可以同（1）一樣的方法得出結論，如圖3，作GB∥OC交PA于點G，可以得出△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．由相似三角形的性質及在a=

3

2

，b=

1

5

的情況下就可以得出結論．
（3）①通過（1）、（2）的計算就可以得出：a=

1

2

，b=1時，k=

a

b

=

1 2

1

=

1

2

，a=

1

3

，b=1時，k=

a

b

=

1 3

1

=

1

3

，當a=

3

2

，b=

1

5

時，k=

a

b

=

3 2

1 5

=

15

2

，從而可以得出結論：k=

a

b

；
②根據直線AD的解析式y=-

1

2

x+4可以求出D點的坐標，從而求出OD的值，再由點A（8，0），點B（0，6），C（-2，0）就可以求出AO，CO，AC的值，從而可以求出a、b的值，直接運用k=

a

b

就可以求出結論．

解答：解：（1）如圖1，作DE∥OA交BC于點E，
∵

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，且a=

1

2

，b=1，
∴

AC

AO

=

1

2

，

BD

DO

=1，
∴AO=2AC，BD=DO，
∴D、C是OB、OA的中點．
∴OC=AC．
∵DE∥OA，
∴BE=CE，
∴DE=

1

2

OC，
∴DE=

1

2

AC．
∵DE∥OA，
∴△DEP∽△ACP，
∴

DE

AC

=

EP

PC

，
∴

EP

PC

=

1

2

，
∴PC=2PE，
∴EC=3PE，
∴BE=3PE，
∴BP=4PE．
∴

CP

PB

=

2PE

4PE

=

1

2

，
∵

CP

PB

=k，
∴k=

1

2

；
（2）如圖2，作DF∥OA交BC于點F，
∵

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，且a=

1

3

，b=1，
∴

AC

AO

=

1

3

，

BD

DO

=1
∴AO=3AC，BD=DO，
∴OC=2AC．
∵DF∥OA，
∴BF=CF，DF=

1

2

OC，
∴DF=AC．
∵DF∥OA，
∴△DFP∽△ACP，
∴

DF

AC

=

PF

PC

=1，
∴PF=PC，
∴CF=2PC，
∴BP=3PC，
∴

CP

PB

=

CP

3CP

=

1

3

，
∵

CP

PB

=k，
∴

CP

PB

=

1

3

，
∴k=

1

3

；
如圖3，作GB∥OC交PA于點G，
∴△GBD∽△AD，△PGB∽△PAC．
∴

GB

OA

=

DB

DO

，

CP

PB

=

AC

GB

．
∵

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，
a=

3

2

，b=

1

5

時，
∴

AC

AO

=

3

2

，

BD

DO

=

1

5

∴2AC=3AO，

GB

OA

=

1

5

，
∴AC=

3

2

AO，AO=5GB，
∴AC=

15

2

GB，
∴

CP

PB

=

25 2 GB

GB

=

15

2

．
∵

CP

PB

=k，
∴k=

15

2

；
（3）①通過（1）、（2）的計算就可以得出：
a=

1

2

，b=1時，k=

a

b

=

1 2

1

=

1

2

，
a=

1

3

，b=1時，k=

a

b

=

1 3

1

=

1

3

，
a=

3

2

，b=

1

5

時，k=

a

b

=

3 2

1 5

=

15

2

，
從而可以得出結論：k=

a

b

；
②如圖4，∵AD的解析式y=-

1

2

x+4，
∴當x=0時，y=4，
∴D（0，4），
∴OD=4，
∵點A（8，0），點B（0，6），C（-2，0），
∴OA=8，OB=6，OC=2，
∴AC=10，BD=2.2
∵

AC

AO

=a，

BD

DO

=b，
∴a=

10

8

=

5

4

，b=

2

4

=

1

2

，
∴k=

a

b

=

5 4

1 2

=

5

2

故答案為：

15

2

，

a

b

，

5

2

．

點評：本題是一道相似形綜合試題，考查了作平行線在相似形中的運用，相似三角形的判定及性質的運用，由特殊到一般的數學思想的運用，解答是尋找k與a、b之間的關系式是關鍵．