Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx過A（﹣4，0），B（﹣1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）寫出點C的坐標，并求出△ABC的面積；

（3）點P是拋物線上一動點，且位于x軸的下方，當△ABP的面積為15時，求出點P的坐標；

（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時點N的坐標．

　　　　

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x；（2）3；（3）點P坐標為（﹣6，﹣12）或（1，﹣5）；（4）N點坐標為（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．

【解析】分析：

（1）將點A、B的坐標代入y=ax2+bx中列出關于a、b的方程組，解方程組求得a、b的值即可得到拋物線的解析式y=﹣x2﹣4x；

（2）將（1）中拋物線的解析式化為“頂點式”得到拋物線的對稱軸，結合點B的坐標即可求得點C的坐標，這樣由A、B、C三點的坐標即可求得S△ABC的值；

（3）如下圖1，過點P作PF垂直x軸，交直線AB于點F，先由A、B的坐標求得直線AB的解析式y=x+4，設點P的橫坐標為m，則點P的坐標為（m，﹣m2﹣4m），點F的坐標為（m，m+4），由此可得PF= m2+5m+4，然后由S△PAB=S△PFB-S△PFA=15可得：×（m2+5m+4）×[(-1-m)-(-4-m)]=15，解此方程求得m的值即可得到點P的坐標；

（4）當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分點C、M、N分別為直角頂點三類情況進行討論：I、①M為直角頂點，且M在x軸上方；②M為直角頂點，且M在x軸的下方；II、①N為直角頂點，且N在y軸的右側；②N為直角頂點，且N在y軸的左側；III、C為直角頂點；根據上述情況畫出對應的圖形，再結合已知條件進行分析解答即可.

詳解：

（1）把點A（﹣4，0），B（﹣1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得，解得，

∴拋物線表達式為y=﹣x2﹣4x；

（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x+2）2+4，

∴拋物線對稱軸為x=﹣2，

∵點C和點B關于對稱軸對稱，點B的坐標為（﹣1，3），

∴C（﹣3，3），

∴BC=2，

∴S△ABC=×2×3=3；

（3）如圖1，過P點作PF垂直x軸，交直線AB于點F，

∵A（﹣4，0），B（﹣1，3），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

則，解得，

即直線AB的解析式為y=x+4，

設點P（m，﹣m2﹣4m），則F（m，m+4），

∴PF=m+4+m2+4m=m2+5m+4．

∴S△PAB=×（m2+5m+4）×3=15，

m2+5m﹣6=0，

解得m1=﹣6，m2=1，

∴點P坐標為（﹣6，﹣12）或（1，﹣5）；

（4）以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：

①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴ON=OH+NH=2，

∴N（﹣2，0）；

②以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖3，

作輔助線，構建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，

∵OH=1，

∴ON=NH﹣OH=5﹣1=4，

∴N（4，0）；

③以點N為直角頂點且N在y軸右側時，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴ME=NH=DN=3，

∴ON=3﹣1=2，

∴N（2，0）；

④以點N為直角頂點且N在y軸左側時，作輔助線，如圖5，

同理得ME=DN=NH=3，

∴ON=1+3=4，

∴N（﹣4，0）；

⑤以C為直角頂點時，由于點C（-3，3）到x軸的距離和到拋物線對稱軸x=-2的距離不相等，所以此時不能構成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上可知當△CMN為等腰直角三角形時N點坐標為（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．