Question

【題目】如圖，是等邊三角形，點在邊上（ “點D不與重合），點是射線上的一個動點（點不與點重合），連接，以為邊作作等邊三角形，連接.

（1）如圖1，當的延長線與的延長線相交，且在直線的同側時，過點作，交于點，求證：；

（2）如圖2，當反向延長線與的反向延長線相交，且在直線的同側時，求證：；

（3）如圖3， 當反向延長線與線段相交，且在直線的異側時，猜想、、之間的等量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）=+，理由見詳解.

【解析】

(1)由是等邊三角形，，得∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，是等邊三角形，易證 GDE CDF(SAS)，即可得到結論；

(2)過點D作DG∥AB交BC于點G，易證 GDE CDF(SAS)，即可得到結論；

(3)過點D作DG∥AB交BC于點G，易證 GDE CDF(SAS)，即可得到結論.

（1）∵是等邊三角形，，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴是等邊三角形，

∴DG=DC.

∵是等邊三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠GDF=∠EDF-∠GDF，即：∠GDE=∠CDF，

在 GDE和 CDF中，

∵，

∴ GDE CDF(SAS)，

∴；

（2）過點D作DG∥AB交BC于點G，如圖2，

∵是等邊三角形，，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴是等邊三角形，

∴DG=DC.

∵是等邊三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠CDG-∠CDE=∠EDF-∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，

在 GDE和 CDF中，

∵，

∴ GDE CDF(SAS)，

∴，

∴

（3）=+，理由如下：

過點D作DG∥AB交BC于點G，如圖3，

∵是等邊三角形，，

∴∠CDG=∠A=60°，∠ACB=60°，

∴是等邊三角形，

∴DG=DC=GC.

∵是等邊三角形，

∴DE=DF，∠EDF=60°，

∴∠CDG+∠CDE=∠EDF+∠CDE，即：∠GDE=∠CDF，

在 GDE和 CDF中，

∵，

∴ GDE CDF(SAS)，

∴=GC+CE=CD+CE.