Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2+x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），連接AB、AC．

（1）求出二次函數表達式；

（2）若點N在線段BC上運動（不與點B、C重合），過點N作NM∥AC，交AB于點M，當△AMN面積最大時，求此時點N的坐標；

（3）若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請求出此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y＝﹣x2+x+4；(2) （3，0）;(3)N（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．

【解析】

（1）根據待定系數法即可求得；

（2）設點N的坐標為（n，0），則BN＝n+2，過M點作MD⊥x軸于點D，根據三角形相似對應邊成比例求得MD＝（n+2），構建二次函數，根據函數解析式求得即可；

（3）分別以A、C兩點為圓心，AC長為半徑畫弧，與x軸交于三個點，由AC的垂直平分線與x軸交于一個點，即可求得點N的坐標．

解：（1）∵二次函數y＝ax2+x+c的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B、C，點C坐標為（8，0），

∴ ，

解得 ．

∴拋物線表達式： ；

（2）令y＝0，則 ，

解得x1＝8，x2＝﹣2，

∴點B的坐標為（﹣2，0）．

又∵A（0，4），C（8，0），

∴,

∴AB2+AC2＝BC2，

∴∠BAC＝90°．

∴AC⊥AB．

∵AC∥MN，

∴MN⊥AB．

設點N的坐標為（n，0），則BN＝n+2，

∵MN∥AC，

△BMN∽△BAC

∴,

∴,

,

,

∵S△AMN＝AMMN

＝

＝，

當n＝3時，△AMN面積最大是5，

∴N點坐標為（3，0）．

∴當△AMN面積最大時，N點坐標為（3，0）．

（3）由（2）知，AC＝ ，

①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（﹣8，0），

②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N，此時N的坐標為（，0）或（，0）

③作AC的垂直平分線交AC于P，交x軸于N，

∴△AOC∽△NPC．

∴即 ．

∴CN＝5．

∴此時N的坐標為（3，0），

綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標分別為（﹣8，0）、（，0）、（3，0）、（，0）．