Question

【題目】求解：已知：如圖1，P為△ADC內一點，DP、CP分別平分DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD。

（1）如果∠A=60°，那么∠P是多少度；如果∠A=90°，那么∠P是多少度；如果∠A=x°，則∠P是多少度？
（2）如圖2，P為四邊形ABCD內一點，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試探究∠P與∠A+∠B的數量關系，并寫出你的探索過程；
（3）如圖3，P為五邊形ABCDE內一點，DP、CP分別平分DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E的數量關系。
（4）如圖4，P為六邊形ABCDEF內一點，DP、CP分別平分DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數量關系。
（5）若P為n邊形A1A2A3…An內一點，PA1平分∠AnA1A2 ， PA2平分∠A1A2A3 ， 請直接寫出∠P與∠A3+A4+A5+…∠An的數量關系。（用含n的代數式表示）

Answer 1

【答案】
（1）

解答：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，

∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠ACD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD=180°- （∠ADC+∠ACD）=180°- （180°-∠A）

=90°+ ∠A，

∴如果∠A=60°，那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，則∠P=（90+ ）°

（2）

解答： ∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，

∴∠PDC= ∠ADC，∠PCD= ∠BCD，

∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD=180°- （∠ADC+∠BCD）=180°- （360°-∠A-∠B）

= （∠A+∠B）；

（3）

解答：五邊形ABCDEF的內角和為：（5-2）180°=540°，

∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，

∴∠P= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，

∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°- （∠EDC+∠BCD）=180°- （540°-∠A-∠B-∠E）

= （∠A+∠B+∠E）-90°．

（4）

解答：六邊形ABCDEF的內角和為：（6-2）180°=720°，

∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，

∴∠PDC= ∠EDC，∠PCD= ∠BCD，

∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°- （∠EDC+∠BCD）=180°- （720°-∠A-∠B-∠E-∠F）= （∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

（5）

解答：同第一小題可得，∠P= （∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）-（n-4）×90°.

【解析】這五小題的做法類似，把求∠P的度數轉換成求 （∠EDC+∠BCD），由多邊形的內角和可得（∠EDC+∠BCD）與其他內角和的數量關系，從而得∠P.
【考點精析】認真審題，首先需要了解多邊形內角與外角(多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于（n-2）180°.多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°)．