Question

【題目】請你認真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題．

（1）如圖1，將角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角頂點E與正方形ABCD的頂點D重合，角尺的一邊交CB于點F，將另一邊交BA的延長線于點G．求證：EF=EG．

（2）如圖2，移動角尺，使角尺的頂點E始終在正方形ABCD的對角線BD上，其余條件不變，請你思考后直接回答EF和EG的數量關系：EF　 　EG（用“=”或“≠”填空）

（3）運用（1）（2）解答中所積累的活動經驗和數學知識，完成下題：如圖3，將（2）中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一邊經過點A（即點G、A重合），其余條件不變，若AB=4，BC=3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）=；（3）.

【解析】試題分析：（1）證明△EAG≌△ECF即可得出結論；

（2）過點E作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，由（1）同理證出△EMG≌△ENF得出結論；

（3）過點E作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，由（2）得出經驗，證得結論則需要通過由平行線得出比例式和兩三角形相似得出比例式來解決．

試題解析：（1）證明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，

∴∠AEG=∠CEF，

又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，

∴△EAG≌△ECF（ASA）

∴EG=EF

（2）EF=EG；

過點E作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，如圖2所示，

則∠MEN=90°，EM=EN，

∴∠GEM=∠FEN，

又因為∠EMG=∠ENF=90°，

∴△EMG≌△ENF

∴EF=EG．

故答案為：=．

（3）過點E作EM⊥AB于點M，作EN⊥BC于點N，如圖3所示：

則∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，

∴，

∴，

又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，

∴∠FEN=∠GEM，

∴Rt△GME∽Rt△FNE，

∴.