Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD為直徑作⊙O₁，交BC于點E，過點E作EF⊥AB于F，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知A，B兩點的坐標分別為A（0，2

3

），B（-2，0）．
（1）求C，D兩點的坐標．
（2）求證：EF為⊙O₁的切線．
（3）探究：如圖，線段CD上是否存在點P，使得線段PC的長度與P點到y軸的距離相等？如果存在，請找出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DE，由等腰梯形的對稱性可知，△CDE≌△BAO，根據線段的等量關系求C，D兩點的坐標；
（2）連接O₁E，由半徑O₁E=O₁C，得∠O₁EC=∠O₁CE，由等腰梯形的性質，得∠ABC=∠DCB，故∠O₁EC=∠ABC，可證O₁E∥AB，由EF⊥AB，證明O₁E⊥EF即可；
（3）存在．過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，由PC=PM，可知四邊形OMPN為正方形，設ON=x，則PM=PC=x，CN=4-x，由△PNC∽△AOB，由相似比，列方程求解．

解答：（1）解：連接DE，∵CD是⊙O₁的直徑，
∴DE⊥BC，
∴四邊形ADEO為矩形．
∴OE=AD=2，DE=AO=2

3

．
在等腰梯形ABCD中，DC=AB．
∴CE=BO=2，CO=4．
∴C（4，0），D（2，2

3

）；

（2）證明：連接O₁E，在⊙O₁中，O₁E=O₁C，
∠O₁EC=∠O₁CE，
在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB．
∴O₁E∥AB，
又∵EF⊥AB，
∴O₁E⊥EF．
∵E在⊙O₁上，
∴EF為⊙O₁的切線

（3）解法一：存在滿足條件的點P．
如右圖，過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依題意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
設ON=x，則PM=PC=x，CN=4-x，
tan∠ABO=

AO

BO

=

2 3

2

=

3

．
∴∠ABO=60°，
∴∠PCN=∠ABO=60°．
在Rt△PCN中，
cos∠PCN=

CN

PC

=

1

2

，
即

4-x

x

=

1

2

，
∴x=

8

3

．
∴PN=CN•tan∠PCN=（4-

8

3

）•

3

=

4 3

3

．
∴滿足條件的P點的坐標為（

8

3

，

4 3

3

）．

解法二：存在滿足條件的點P，
如右圖，在Rt△AOB中，AB=

AO2+BO2

=

(2 3 )2+22

=4．
過P作PM⊥y軸于M，作PN⊥x軸于N，依題意得PC=PM，
在矩形OMPN中，ON=PM，
設ON=x，則PM=PC=x，CN=4-x，
∵∠PCN=∠ABO，∠PNC=∠AOB=90°．
∴△PNC∽△AOB，
∴

PC

AB

=

CN

BO

，即

x

4

=

4-x

2

．
解得x=

8

3

．
又由△PNC∽△AOB，得

PN

AO

=

PC

AB

，即

PN

2 3

=

8 3

4

，
∴PN=

4 3

3

．
∴滿足條件的P點的坐標為（

8

3

，

4 3

3

）．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，坐標與圖形的性質，等腰梯形的性質，圓周角定理，切線的判定與性質．關鍵是根據等腰梯形的性質，作輔助線，利用相似三角形的性質求解．