Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD的四個內角的平分線相交成四邊形EFGH，求證：

（1）EG=HF．

（2）EG=BC-AB．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解．

【解析】

（1）利用三個內角等于90°的四邊形是矩形，即可證明；

（2）延長AF交BC于M，通過全等得到AB=BM，然后證明四邊形EMCG是平行四邊形，得到EG=CM，即可得證．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵BH，CH分別平分∠ABC與∠BCD，
∴∠HBC=∠ABC，∠HCB=∠BCD，
∴∠HBC+∠HCB=（∠ABC+∠BCD）=×180°=90°，
∴∠H=90°，
同理∠HEF=∠F=90°，
∴四邊形EFGH是矩形，

∴EG=HF；

（2）如圖，延長AF交BC于M，

由（1）中可知AE⊥AF，即∠BEA=∠BEM=90°，

在Rt△ABE和Rt△MBE中，

，

∴△ABE≌△MBE，

∴AB=MB，AE=EM，

由于四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠ABC=∠ADC，AB=CD

∵BH，DF分別平分∠ABC與∠ADC，

∴∠ABE=∠CDG，

在Rt△ABE和Rt△CDG中，

，

∴△ABE≌△CDG，

∴CG=AE，

∴CG=EM，

由于四邊形EFGH是矩形，

∴EM∥CG，

∴四邊形EMCG是平行四邊形，

∴EG=MC，

由于MC=BC-BM，

∴EG=BC-AB．