Question

如圖，正方形ABCD中，AB=1，點P是射線DA上的一動點，DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與射線DC交于點F，
（1）若點P在邊DA上（與點D、點A不重合）．
①求證：△DEF∽△CEB，
②設AP=x，DF=y，求y與x的函數關系式，并寫出函數定義域；
（2）當S_△BEC=4S_△EFC時，求AP的長．

Answer 1

分析：（1）①由于∠DEC、∠FEB都是直角，那么∠DEF、∠CEB為同角的余角，由此可得∠DEF=∠CEB，同理可證得∠EDF=∠BCE，由此得證．
②此題可通過兩步相似，即△DEC∽△PDC和△DEF∽△CEB，來證得PD=DF，從而求得y、x的函數關系式．
（2）由于△DEF、CEF同高，那么它們的面積比等于相似比，即DF：CF；而△DEF與△BEC相似，它們的面積比為：DF2：BC2，聯立兩式即可求得S_△BEC與S_△EFC的面積比的表達式，已知了兩者的比例關系，聯立（1）②的函數解析式即可求得x的值，即AP的長．（要注意的是，在表示DF長時，要分PD在線段DA上和DA延長線上兩種情況）

解答：解：（1）①∵∠DEC=∠FEB=90°，∴∠DEF=∠BEC；（1分）
∵∠EDF+∠DCP=∠BCE+∠DCP=90°，（1分）
∴∠EDF=∠BCE，∴△DEF∽△CEB．（1分）

②∵Rt△PDC中，DE⊥CP，∴∠CDP=∠CED=90°，
∴△DEC∽△PDC，∴

DE

EC

=

PD

DC

；（1分）
∵△DEF∽△CEB，（1分）
∴

DE

EC

=

DF

BC

，且BC=DC，
∴

PD

DC

=

DF

DC

，∴PD=DF；（1分）
∵AP=x，DF=y，∴PD=1-x，∴y=1-x（1分）（0＜x＜1）．（1分）

（2）∵△DEF∽△CEB，∴

S△DEF

S△CEB

=

DF2

CB2

（1），（1分）
∵

S△DEF

S△CEF

=

DF

CF

（2），∴（1）÷（2）得

S△cEF

S△CEB

=

DF•CF

CB2

；（1分）
又∵S_△BEC=4S_△EFC，∴

S△cEF

S△CEB

=

DF•CF

CB2

=

1

4

；（1分）
當P點在邊DA上時，
有

(1-x)•x

1

=

1

4

，解得x=

1

2

，（2分）
當P點在邊DA的延長線上時，

(1+x)•x

1

=

1

4

，解得x=

2 -1

2

．（1分）
∴AP=

2 -1

2

．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及相似三角形的判定和性質，難度較大，注意（2）題中分類討論思想的運用．