Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），將直線y=﹣x沿y軸向上平移3個單位長度后恰好經過B，C兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線的頂點為D，點P在拋物線的對稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點P的坐標；

（3）連結CD，求∠OCA與∠OCD兩角和的度數．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；

（2）點P的坐標為（2，2）或（2，﹣2）；

（3）∠OCA與∠OCD兩角和的度數為45°．

【解析】

試題分析：（1）根據平移的規律，可得BC的解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得B、C點坐標，根據待定系數法，可得BC的解析式；

（2）根據自變量與函數值的對應關系，可得A、B、C點坐標，根據配方法，可得D點坐標，根據等腰三角形的性質，可得BC的長，根據相似三角形的判定與性質，可得PF的長，根據線段的和差，可得F點坐標；

（3）根據軸對稱，可得A′點，根據勾股定理，可得A′C，A′D，根據勾股定理的逆定理，可得∠CA′D=90°，根據等量代換，可得答案．

試題解析：（1）直線y=﹣x沿y軸向上平移3個單位長度后經過y軸上的點C，得

y=﹣x+3，即C（0，3），（3，0）．

拋物線y=x2+bx+c過點B，C，，解得．

故拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3．

（2）由y=x2﹣4x+3，當y=0時，x2﹣4x+3=0，解得x=1，x=3，即A（1，0），B（3，0）．

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，D（2，﹣1）．∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．

可得△OBC是等腰直角三角形．∴∠OBC=45°，CB=3．

如圖1，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，

AF=AB=1．過點A作AE⊥BC于點E．∴∠AEB=90°．可得BE=AE=，CE=2．

在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP．

∴=， =．解得PF=2．點P在拋物線的對稱軸上，∴點P的坐標為（2，2）或（2，﹣2）．

（3）如圖2，作點A（1，0）關于y軸的對稱點A′，則A′（﹣1，0）．

連結A′C，A′D，可得A′C=AC=，∠OCA′=∠OCA．

由勾股定理可得CD2=20，A′D2=10．又∵A′C2=10，∴A′D2+A′C2=CD2．

∴△A′DC是等腰直角三角形，∠CA′D=90°，∴∠DCA′=45°．

∴∠OCA′+∠OCD=45°．∴∠OCA+∠OCD=45°．

即∠OCA與∠OCD兩角和的度數為45°．