Question

【題目】探索與研究：
方法1：如圖（a），對任意的符合條件的直角三角形繞其銳角頂點旋轉90°所得，所以
∠BAE＝90°，且四邊形ACFD是一個正方形，它的面積和四邊形ABFE面積相等，而四邊形ABFE面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和，根據圖示寫出證明勾股定理的過程；

方法2：如圖（b），是任意的符合條件的兩個全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據圖示再寫一種證明勾股定理的方法嗎？

Answer 1

【答案】解：方法1：∵由圖（a）可知S正方形ACFD=S四邊形ABFE ,

∴S正方形ACFD=S⊿BAE+S⊿BFE

又∵正方形ACFD的邊長為b, SRt△BAE= ,SRt△BFE=

∴b2 = +

即2b2 =c2 +（b+a）（b-a）

整理得: a2+b2=c2

方法2：如圖（b）中,Rt△BEA和Rt△ACD全等, 設CD=a,AC=b,AD=c（b>a）,

則AE=a,BE=b,AB=c,EC=b-a

由圖（b）,S四邊形ABCD = SRt△BAE + SRt△ACD+SRt△BEC =SRt△BAD+S△BCD

又∵SRt△BAE = , SRt△ACD = ,SRt△BEC= ,

SRt△BAD= ,S△BCD= ,

∴ + + = +

即2ab+b（b-a）= c2 +a（b-a）

整理得: a2+b2=c2

【解析】方法1：由圖（a）可知S正方形ACFD=S四邊形ABFE ，S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，根據已知即可證得a2+b2=c2；
方法2：如圖（b）中,Rt△BEA和Rt△ACD全等, 設CD=a,AC=b,AD=c（b>a）,分別表示出AE、BE、CE的長，,S四邊形ABCD = SRt△BAE + SRt△ACD+SRt△BEC =SRt△BAD+S△BCD，建立方程即可證得a2+b2=c2。
【考點精析】利用三角形的面積對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知三角形的面積=1/2×底×高．