Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，點E為AD上一定點，F為AD延長線上一點，且DF=acm，點P從A點出發，沿AB邊向點B以2cm/s的速度運動，運動到B點停止，連結PE，設點P運動的時間為ts，△PAE的面積為ycm2 ， 當0≤t≤1時，△PAE的面積y（cm2）關于時間t（s）的函數圖象如圖2所示，連結PF，交CD于點H．

（1）t的取值范圍為 ， AE=cm；
（2）如圖3，將△HDF沿線段DF進行翻折，與CD的延長線交于點M，連結AM，當a為何值時，四邊形PAMH為菱形？
（3）在（2）的條件下求出點P的運動時間t．

Answer 1

【答案】
（1）0≤t≤3.5；1
（2）

解：如圖3，

∵四邊形AMHP是菱形，

∴AM=MH=2DM，AM∥PF，

∵∠ADM=90°，DM= AM，

∴∠MAD=30°，

∴∠PFA=MFA=∠MAD=30°，

∴MA=MF，

∵MD⊥AF，

∴AD=DF=4，

∴a=4．

（3）

解：當a=4cm時，FA=AD+DF=8cm，

令PA=x，則PF=2x，

根據勾股定理可得，PF2=PA2+AF2，

即（2x）2=x2+82，

解得x= ，（負值已舍去）

∴P的運動時間為 ÷2= 秒

【解析】解：（1）∵AB=7，而7÷2=3.5，
∴0≤t≤3.5，
由題意可知，y= ×2t×AE，
由圖2可知，當t=0.5時，y=0.5，
∴0.5= ×2×0.5×AE，
∴AE=1，
故答案分別為：0≤t≤3.5，1；
（1）根據AB的長以及點P的移動速度，可以確定t的范圍；根據題意可知，y= ×2t×AE，由圖2可知，當t=0.5時，y=0.5，進而得出0.5= ×2×0.5×AE，即可求出AE．（2）根據菱形的性質以及軸對稱的性質，即可證明∠MAD=∠MFD=30°，最后根據等腰三角形的性質，即可解決問題．（3）令PA=x，則PF=2x，根據勾股定理可得，PF2=PA2+AF2 ， 即可得出方程（2x）2=x2+82 ， 求得x的值即可得到點P的運動時間t．