Question

已知x₁、x₂是方程x²-2kx+k²-k=0的兩個實數根．是否存在常數k，使

x1

x2

+

x2

x1

=

3

2

成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：由于方程有實數根，根據一元二次方程的根的判別式確定k取什么值，然后根據根與系數的關系化簡代數式，求出k的值，再檢查k的值是否滿足原方程有實數根，從而確定是否存在k值．

解答：解：∵a=1，b=-2k，c=k²-k
而△=b²-4ac=（-2k）²-4（k²-k）=4k
∴當k≥0時，方程有實數根；
∵x₁+x₂=2k，x₁x₂=k²-k，
而

x1

x2

+

x2

x1

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

4k2-2(k2-k)

k2-k

=

3

2

，
整理，解得：k₁=0，k₂=-7（舍去），
當k=0時，x₁=x₂=0，

x1

x2

，

x2

x1

無意義；
故不存在常數k，使

x1

x2

+

x2

x1

=

3

2

成立．

點評：本題考查一元二次方程的根的判別式和根與系數的關系的運用．還應用了怎樣化簡代數式，及怎樣驗根．