Question

【題目】如圖1在平面直角坐標系中．等腰Rt△OAB的斜邊OA在x軸上．P為線段OB上﹣動點（不與O，B重合）．過P點向x軸作垂線．垂足為C．以PC為邊在PC的右側作正方形PCDM．OP= t、OA=3．設過O，M兩點的拋物線為y=ax2+bx．其頂點N（m，n）

（1）寫出t的取值范圍 ， 寫出M的坐標：（）；
（2）用含a，t的代數式表示b；
（3）當拋物線開向下，且點M恰好運動到AB邊上時（如圖2）
①求t的值；
②若N在△OAB的內部及邊上，試求a及m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：0＜t＜ ；2t，t
（2）

解：把M（2t，t）代入到y=ax2+bx中得：

t=4at2+2tb，

1=4at+2b，

b= ；

（3）

解：①如圖2，∵OB= ，OP= t，

∴PB= ﹣ t，

∵PM∥OA，

∴ ，

∴ = ，

∴t=1；

②由（2）得：b= = ﹣2a，即4a=1﹣2b，

頂點N（﹣ ，﹣ ）（a＜0，b＞0），

i）當0≤﹣ ≤ 時，即a≤﹣ 時，

﹣ ≥﹣ ，解得a≥﹣ ，

∴﹣ ≤a≤﹣ ，

ii）當 ＜﹣ ≤3時，即﹣ ＜a≤﹣ ，

3﹣（﹣ ）≥﹣ ，

b2﹣4b+3≤0，

1≤b≤3，

1≤ ﹣2a≤3，﹣ ≤a≤﹣ ，

則﹣ ＜a≤﹣ ，

綜上所述：a的取值為：﹣ ≤a≤﹣ ，

m=﹣ =1﹣ ，

得：4am=4a﹣1，a=﹣ = ，

﹣ ≤ ≤﹣ ，

∴ ≤m≤2．

【解析】 解：（1）如圖1，∵△OAB為等腰直角三角形，OA=3，
∴OB=AB= = ，
∵P為線段OB上﹣動點（不與O，B重合），
∴0＜ t＜ ，
∴0＜t＜ ，
∵四邊形PCDM為正方形，
∴∠PCO=90°，
∵∠POC=45°，
∴△POC為等腰直角三角形，
∵OP= t，
∴PC=OC=t，
∴OD=t+t=2t，
∴M（2t，t）；
【考點精析】掌握二次函數的圖象是解答本題的根本，需要知道二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．