Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝－x2＋bx＋C的圖象與坐標軸交于A、B、C三點，其中點A的坐標為(0，8)，點B的坐標為(－4，0)．

(1)求該二次函數的表達式及點C的坐標；

(2)點D的坐標為(0，4)，點F為該二次函數在第一象限內圖象上的動點，連接CD、CF，以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF，設平行四邊形CDEF的面積為S.

①求S的最大值；

②在點F的運動過程中，當點E落在該二次函數圖象上時，請直接寫出此時S的值．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x＋8，C (8，0)；(2) ①50；②18.

【解析】

（1）把A點和B點坐標代入y=-x2+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線的解析式；然后計算函數值為0時對應的自變量的值即可得到C點坐標
（2）①連結DF，OF，如圖，設F（t，-t2+t+8），利用S四邊形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，利用三角形面積公式得到S△CDF=-t2+6t+16，再利用二次函數的性質得到△CDF的面積有最大值，然后根據平行四邊形的性質可得S的最大值；
②由于四邊形CDEF為平行四邊形，則CD∥EF，CD=EF，利用C點和D的坐標特征可判斷點C向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點D，則點F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點E，即E（t-8，-t2+t+12），然后把E（t-8，-t2+t+12）代入拋物線解析式得到關于t的方程，再解方程求出t后計算△CDF的面積，從而得到S的值．

解：(1)∵二次函數y＝－x2＋Bx＋C過A(0，8)、B(－4，0)兩點，

∴ ，解得 ，

∴二次函數的解析式為y＝－x2＋x＋8，

當y＝0時，解得x1＝－4，x2＝8，

∴C點坐標為(8，0)；

（2）①如解圖，連接DF，OF，設F(M，－M2＋M＋8)，

∵S四邊形OCFD＝S△CDF＋S△OCD＝S△ODF＋S△OCF，

∴S△CDF＝S△ODF＋S△OCF－S△OCD，

＝×4×M＋×8×(－M2＋M＋8)－×8×4

＝2M－M2＋4M＋32－16

＝－M2＋6M＋16

＝－(M－3)2＋25，

當M＝3時，△CDF的面積有最大值，最大值為25，

∵四邊形CDEF為平行四邊形，

∴S四邊形CDEF＝2S△CDF＝50，

∴S的最大值為50；

②S＝18.

∵四邊形CDEF為平行四邊形，

∴CD∥EF，CD＝EF，

∵點C向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點D，

∴點F向左平移8個單位，再向上平移4個單位得到點E，即E(M－8，－M2＋M＋12)，

∵E(M－8，－M2＋M＋12)在拋物線上，

∴－ (M－8)2＋(M－8)＋8＝－M2＋M＋12，

解得M＝7，

當M＝7時，S△CDF＝－(7－3)2＋25＝9，

∴此時S＝2S△CDF＝18.