Question

【題目】如圖，在中，是直徑，點是上一點，點是弧的中點，于點，過點的切線交的延長線于點，連接，分別交，于點．連接，關于下列結論：① ；②；③點是的外心，其中正確結論是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

由于與不一定相等，根據圓周角定理可知①錯誤；連接OD，利用切線的性質，可得出∠GPD＝∠GDP，利用等角對等邊可得出GP＝GD，可知②正確；先由垂徑定理得到A為的中點，再由C為的中點，得到，根據等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP＝∠ACP，利用等角對等邊可得出AP＝CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ＝∠PQC，得出CP＝PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，可知③正確；

∵在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，

∴＝≠，

∴∠BAD≠∠ABC，故①錯誤；

連接OD，

則OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，

∵∠ODA＋∠GDP＝90，∠EPA＋∠EAP＝∠EAP＋∠GPD＝90，

∴∠GPD＝∠GDP；

∴GP＝GD，故②正確；

∵弦CF⊥AB于點E，

∴A為的中點，即，

又∵C為的中點，

∴，

∴，

∴∠CAP＝∠ACP，

∴AP＝CP．

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACQ＝90，

∴∠PCQ＝∠PQC，

∴PC＝PQ，

∴AP＝PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，

∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；

故選C．