Question

【題目】如圖，已知數軸上有三點 A，B，C ，若用 AB 表示 A，B 兩點的距離，AC 表示 A ，C 兩點的 距離，且 BC 2 AB ，點 A 、點C 對應的數分別是a 、c ，且| a 20 | | c 10 | 0 .

（1）若點 P，Q 分別從 A，C 兩點同時出發向右運動，速度分別為 2 個單位長度/秒、5個單位長度/ 秒，則運動了多少秒時，Q 到 B 的距離與 P 到 B 的距離相等？

（2）若點 P ，Q 仍然以（1）中的速度分別從 A ，C 兩點同時出發向右運動，2 秒后，動點 R 從 A點出發向左運動，點 R 的速度為1個單位長度/秒，點 M 為線段 PR 的中點，點 N為線段 RQ的中點，點R運動了x 秒時恰好滿足 MN AQ 25，請直接寫出x的值.

Answer 1

【答案】（1）秒或10秒；（2）或．

【解析】

（1）由絕對值的非負性可求出a，c的值，設點B對應的數為b，結合BC 2 AB，求出b的值，當運動時間為t秒時，分別表示出點P、點Q對應的數，根據“Q到B的距離與P到B的距離相等”列方程求解即可；

（2）當點R運動了x秒時，分別表示出點P、點Q、點R對應的數為，得出AQ的長，

由中點的定義表示出點M、點N對應的數，求出MN的長．根據MN+AQ=25列方程，分三種情況討論即可．

（1）∵|a-20|+|c+10|=0，

∴a-20=0，c+10=0，

∴a=20，c=﹣10．

設點B對應的數為b．

∵BC=2AB，∴b﹣（﹣10）=2（20﹣b）．

解得：b=10．

當運動時間為t秒時，點P對應的數為20+2t，點Q對應的數為﹣10+5t．

∵Q到B的距離與P到B的距離相等，

∴|﹣10+5t﹣10|=|20+2t﹣10|，

即5t﹣20=10+2t或20﹣5t=10+2t，

解得：t=10或t=．

答：運動了秒或10秒時，Q到B的距離與P到B的距離相等．

（2）當點R運動了x秒時，點P對應的數為20+2（x+2）=2x+24，點Q對應的數為﹣10+5（x+2）=5x，點R對應的數為20﹣x，∴AQ=|5x﹣20|．

∵點M為線段PR的中點，點N為線段RQ的中點，

∴點M對應的數為=，

點N對應的數為2x+10，

∴MN=|﹣（2x+10）|=|12﹣1.5x|．

∵MN+AQ=25，∴|12﹣1.5x|+|5x﹣20|=25．

分三種情況討論：

①當0＜x＜4時，12﹣1.5x+20﹣5x=25，

解得：x=；

當4≤x≤8時，12﹣1.5x+5x﹣20=25，

解得：x=＞8，不合題意，舍去；

當x＞8時，1.5x﹣12+5x﹣20=25，

解得：x．

綜上所述：x的值為或．