Question

【題目】如圖，放在直角坐標系中的正方形ABCD邊長為4，現做如下實驗：拋擲一枚均勻的正四面體骰子（它有四個頂點，各頂點的點數分別是1至4這四個數字中一個），每個頂點朝上的機會是相同的，連續拋擲兩次，將骰子朝上的頂點數作為直角坐標中P點的坐標）第一次的點數作橫坐標，第二次的點數作縱坐標）．

（1）求P點落在正方形ABCD面上（含正方形內部和邊界）的概率．

（2）將正方形ABCD平移整數個單位，則是否存在一種平移，使點P落在正方形ABCD

面上的概率為0.75；若存在，指出其中的一種平移方式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P點落在正方形ABCD面上（含正方形內部和邊界）的概率為；

（2）存在滿足題設要求的平移方式：先將正方形ABCD上移2個單位，后右移1個單位（先右后上亦可）；或先將正方形ABCD上移1個單位，后右移2個單位（先右后上亦可）

【解析】試題分析：（1）依題意得點P的橫坐標有數字1，2，3，4四種選擇，縱坐標也有數字1，2，3，4四種選擇，故點P的坐標共有16種情況，有四種情況將落在正方形ABCD上，所以概率為．（2）要使點P落在正方形面上的概率為，所以要將正方形移動使之符合．

試題解析：

（1）根據題意，點P的橫坐標有數字1，2，3，4四種選擇，點P的縱坐標也有數字1，2，3，4四種選擇，所以構成點P的坐標共有4×4=16種情況．

如下圖所示：

其中點P的（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四種情況將落在正方形ABCD面上，

故所求的概率為．

（2）因為要使點P落在正方形ABCD面上的概率為，所以只能將正方形ABCD向上或向右整數個單位平移，且使點P落在正方形面上的數目為12．

∴存在滿足題設要求的平移方式：先將正方形ABCD上移2個單位，后右移1個單位（先右后上亦可）；或先將正方形ABCD上移1個單位，后右移2個單位（先右后上亦可）．

定睛：本題綜合考查了平移的性質，幾何概率的知識以及正方形的性質．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．