Question

【題目】如圖所示，在中，，，為邊上的中點，于點，交的延長線于點.

(1)求證：；

(2)求證：垂直平分.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

（1）根據ASA判定△ACD≌△CBF即可；

（2）由（1）得到BF=CD，由D為BC中點，根據中點定義得到CD=BD，等量代換得到BF=BD，再根據角度之間的數量關系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質求證即可．

解：（1）∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF；

（2）連接DF，

由（1）得CD=BF
∵為邊上的中點

∴CD=BD=BC

∴BF=BD
∴△BFD為等腰直角三角形
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分線．
∴根據等腰三角形三線合一的性質有BA⊥FD，BA平分邊FD，
即AB垂直平分DF．