Question

【題目】如圖所示，Rt△PAB的直角頂點P（3，4）在函數y=（x＞0）的圖象上，頂點A、B在函數y=（x＞0，0＜t＜k）的圖象上，PA∥x軸，連接OP，OA，記△OPA的面積為S△OPA，△PAB的面積為S△PAB，設w=S△OPA﹣S△PAB．

①求k的值以及w關于t的表達式；

②若用wmax和wmin分別表示函數w的最大值和最小值，令T=wmax+a2﹣a，其中a為實數，求Tmin．

Answer 1

【答案】①求k的值以及w關于t的表達式； ②Tmin=．

【解析】

試題分析：（1）由點P的坐標表示出點A、點B的坐標，從而得S△PAB=PAPB=（4﹣）（3﹣），再根據反比例系數k的幾何意義知S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=6﹣t，由w=S△OPA﹣S△PAB可得答案；（2）將（1）中所得解析式配方求得wmax=，代入T=wmax+a2﹣a配方即可得出答案．

試題解析：（1）∵點P（3，4），∴在y=中，當x=3時，y=，即點A（3，），

當y=4時，x=，即點B（，4），則S△PAB=PAPB=（4﹣）（3﹣），

如圖，延長PA交x軸于點C，

則PC⊥x軸，又S△OPA=S△OPC﹣S△OAC=×3×4﹣t=6﹣t，

∴w=6﹣t﹣（4﹣）（3﹣）=﹣t2+t；

（2）∵w=﹣t2+t=﹣（t﹣6）2+，∴wmax=，

則T=wmax+a2﹣a=a2﹣a+=（a﹣）2+，

∴當a=時，Tmin=．