Question

【題目】若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β
（1）如圖①，AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，若AM∥BN，則α與β有何關系？并說明理由．
（2）如圖②，若∠EAC的平分線所在直線與∠FBC平分線所在直線交于P，試探究∠APB與α、β的關系是 ． （用α、β表示）
（3）如圖③，若α≥β，∠EAC與∠FBC的平分線相交于P1 ， ∠EAP1與∠FBP1的平分線交于P2；依此類推，則∠P5= ． （用α、β表示）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，

∴∠MAC+∠NCB= ∠EAC+ ∠FBC= β，

∵AM∥BN，

∴∠C=∠MAC+∠NCB，

即α= β；

（2）α=∠APB+ β或α+∠APB= β
（3）α﹣ β
【解析】（2）∵∠EAC的平分線與∠FBC平分線相交于P， ∴∠PAC+∠PBC= ∠EAC+ ∠FBC= β，
若點P在點C的下方，則∠C=∠APB+（∠PAC+∠PBC），
即α=∠APB+ β，
若點P在點C的上方，則∠C+∠APB=∠PAC+∠PBC，
即α+∠APB= β；
綜上所述，α=∠APB+ β或α+∠APB= β；
3）由（2）得，∠P1=∠C﹣（∠PAC+∠PBC）=α﹣ β，
∠P2=∠P1﹣（∠P2AP1+∠P2BP1），
=α﹣ β﹣ β=α﹣ β，
∠P3=α﹣ β﹣ β=α﹣ β，
∠P4=α﹣ β﹣ β=α﹣ β，
∠P5=α﹣ β﹣ β=α﹣ β．
所以答案是：（2）α=∠APB+ β或α+∠APB= β；（3）α﹣ β．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行線的性質和三角形的內角和外角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角．