Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠ACB=30° ，AD平分∠BAC， BD= ，點P為線段AC上的一個動點

(1)求AC的長

(2)作△ABC中∠ACB的角平分線CH，求BH的長

(3)若點E在直線1上，且在C點的左側，PE=PC， AP為多少時，△ACE為等腰三角形?

Answer 1

【答案】（1）6；（2）；（3）或0或4.

【解析】

（1）易得∠BAD=30°，∴AD=2BD，再由勾股定理求出AB，最后再由30°的直角邊是斜邊的一半可得AC=2AB.

（2）過H點作HG⊥AC于點G，設BH=x，在Rt△AHG中用勾股定理建立方程求解；

（3）分三種情況討論：①AC=EC，②AC=AE，③AE=EC，分別根據題意找出P點的位置，采用（2）的方法建立方程求解.

解：（1）∵∠ABC=90° ，∠ACB=30°

∴∠BAC=60°，

又∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=30°，

在Rt△ABD中，BD=

∴AD=2BD=

在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AC=2AB=6

（2）如圖所示，過H點作HG⊥AC于點G，

在Rt△ABC中，

∵CH平分∠BCA，∴∠HCB=∠HCG

在△HCB和△HCG中

∴△HCB≌△HCG（AAS）

∴BH=HG，CG=BC

設BH=x，則HG=x，AH=3-x，AG=

在Rt△AHG中，

AG+HG=AH，即

解得

∴BH的長為

（3）△ACE為等腰三角形，①若AC=EC，如圖所示，由PE=PC可知P點在EC的中垂線上，則作EC的中垂線與AC的交點即為P點，

∵PF為EC的中垂線，∴FC=，

在Rt△PCF中，∵∠C=30°，∴PC=2PF

設PF=a，則PC=2a，

有勾股定理得，解得

∴PC=，∴

②若AC=AE，如圖所示，此時P點與A重合，∴AP=0

③若AE=EC，如圖所示，由PE=PC可知P點在CE的中垂線上，所以作EC的中垂線與AC的交點即為P點，

設AE=EC=x，則BE=

在Rt△ABE中，由勾股定理得，

，解得

∴EC=

又∵PM垂直平分EC，∴MC=

在Rt△PMC中，∠C=30°，

設PM=y，則PC=2y，由勾股定理得，解得

∴PC=2，此時AP=6-2=4

綜上，當AP為或0或4時，△ACE為等腰三角形