Question

閱讀理解：
條件：
如圖1，A、B是直線l同旁的兩個定點．問題：在直線l上確定一點P，使PA+AB的值最小．方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則PA+PB=A′B的值最小．
應用：
（1）如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是AC上一動點，連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關于直線AC對稱，連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是

5

；
（2）如圖3，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動點，則PA+PC的最小值是

2

3

．

Answer 1

分析：（1）由所給的例子可知，PB+PE的最小值是DE的長，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得出DE的長；
（2）作A關于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，求出A′C的長即可．

解答：解：（1）由所給的例子可知，PB+PE的最小值是DE的長，
∵正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，
∴AE=1，
在Rt△ADE中，
DE=

AD2+AE2

=

22+12

=

5

．
故答案為：

5

；

（2）如圖所示：作A關于OB的對稱點A′，連接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即為A′C的長，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=

3

∴A′C=2

3

故答案為：2

3

．

點評：本題考查的是軸對稱--最短路線的問題，涉及到正方形、圓、等腰直角三角形的有關知識，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．