Question

閱讀理解：
對于任意正實數a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有當a=b時，等號成立．若ab為定值P，則a+b≥2

P

，只有當a=b時，a+b有最小值2

P

．
（1）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為半圓上的任意一點，（與點A、B不重合）過點C作CD⊥AB，垂足為D，AD=a，DB=b．根據圖象驗證，a+b≥2

ab

，并指出等號成立時的條件．

（2）根據上述內容，回答下列問題
①若m＞0，只有當m=

1

時，m+

1

m

有最小值為

2

．
②如圖2所示：A（-3，0），B（0，-4），P為雙曲線y=

12

x

(x＞0)上任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D，求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時ABCD的形狀．

Answer 1

分析：（1）先證明△ACD∽△CBD可得CD與

ab

之間的關系，根據半徑與a，b之間的等量關系，以及半徑大于CD可得相關結論．
（2）①根據材料信息，可直接得出m的值，及m+

1

m

的最小值．
②設出的點P的坐標，根據對角線互相垂直的四邊形的面積的求法，表示出四邊形ABCD的面積，然后根據材料信息得出面積的最小值，也可判斷出此時四邊形ABCD的形狀．

解答：解：（1）AB是⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
又∵CD⊥AB，
∴∠CAD=90°-∠B=∠BCD，
∴Rt△CAD∽Rt△BCD，
∴CD²=AD•DB=ab，
∴CD=

ab

，
若點D與O不重合，連OC，
在Rt△OCD中，OC＞CD，則

a+b

2

＞

ab

，
若點D與O重合時，OC=CD，則

a+b

2

=

ab

．
綜上所述

a+b

2

≥

ab

，即a+b≥2

ab

，且當a=b時，等號成立．

（2）①由所給信息可得：m+

1

m

≥2

m× 1 m

=2，且當m=

1

m

時，等號成立，
即可得若m＞0，只有當m=1時，m+

1

m

有最小值為2．
②設P（x，

12

x

），則C（x，0），D（0，

12

x

），CA=x+3，DB=

12

x

+4，
則S_{四邊形ABCD}=

1

2

CA×DB=

1

2

（x+3）×（

12

x

+4），
化簡得：S_{四邊形ABCD}=2（x+

9

x

+12），
∵x＞0，

9

x

＞0，
∴x+

9

x

≥2

x• 9 x

=6，
只有當x=

9

x

即x=3時，等號成立．
則S≥2×6+12=24，
即當x=3時，S_{四邊形ABCD}有最小值24，
此時，P（3，4），C（3，0），D（0，4），AB=BC=CD=DA=5，
故可得四邊形ABCD是菱形．

點評：此題屬于反比例函數綜合題，注意仔細閱讀材料，獲取解題需要的信息，另外要注意對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半，有一定難度．