Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60º．

（1）求⊙O的直徑；（2）若D是AB延長線上一點，連結CD，當BD長為多少時，CD與⊙O相切；
（3）若動點E以2cm/s的速度從A點出發沿著AB方向運動，同時動點F以1cm/s的速度從B點出發沿BC方向運動，設運動時間為，連結EF，當為何值時，△BEF為直角三角形．

Answer 1

（1）4（2）

（1）∵AB是⊙O的直徑（已知）∴∠ACB＝90º（直徑所對的圓周角是直角）
∵∠ABC＝60º（已知）
∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的內角和等于180º）
∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）即⊙O的直徑為4cm．
（2）如圖10（1）CD切⊙O于點C，連結OC，則OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．
∴CD⊥CO（圓的切線垂直于經過切點的半徑）∴∠OCD＝90º（垂直的定義）
∵∠BAC＝ 30º（已求）
∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º（在同圓或等圓中一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半）
∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º（三角形的內角和等于180º）
∴OD＝2OC＝4cm（直角三角形中，30º銳角所對的直角邊等于斜邊的一半）
∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm）
∴當BD長為2cm，CD與⊙O相切．
（3）根據題意得：BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；
如圖10（2）當EF⊥BC時，△BEF為直角三角形，此時△BEF∽△BAC 
∴BE：BA＝BF：BC
即：（4－2t）：4＝t：2 解得：t＝1
如圖10（3）當EF⊥BA時，△BEF為直角三角形，此時△BEF∽△BCA 
∴BE：BC＝BF：BA
即：（4－2t）：2＝t：4  解得：t＝1.6 
∴當t＝1s或t＝1.6s時，△BEF為直角三角形．
（1）根據已知條件知：∠BAC=30°，已知AB的長，根據直角三角形中，30°銳角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AB的長，即⊙O的直徑；
（2）根據切線的性質知：OC⊥CD，根據OC的長和∠COD的度數可將OD的長求出，進而可將BD的長求出；
（3）應分兩種情況進行討論，當EF⊥BC時，△BEF為直角三角形，根據△BEF∽△BAC，可將時間t求出；
當EF⊥BA時，△BEF為直角三角形，根據△BEF∽△BCA，可將時間t求出．