Question

【題目】如圖所示，四邊形ABCD是矩形，已知PB=PC.

(1)若P是矩形外一點，求證：PA=PD；

(2)若P是矩形邊AD(或BC)上的一點，則PA PD；

(3)若點P在矩形ABCD內部，上述結論是否仍然成立？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）=；（3）成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）由四邊形ABCD是矩形，可得AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，又由PB=PC可得∠PBC=∠PCB，求出∠PBA=∠PCD，進而利用SAS證明△APB≌△DPC即可得到PA=PD；

（2）當P是矩形邊AD(或BC)上的一點，通過HL可證Rt△APB≌Rt△DPC，得到PA=PD；

（3）當點P在矩形ABCD內部時，同（1）可證△APB≌△DPC，得到PA=PD.

(1)證明：如圖①，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，

∵PB=PC，

∴∠PBC=∠PCB，

∴∠PBA=∠PCD.

在△APB和△DPC中，，

∴△APB≌△DPC，

∴PA=PD；

(2) 如圖②，當P是矩形邊AD上的一點，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠D=90°，AB=DC，PB=PC，

∴Rt△APB≌Rt△DPC（HL），

∴PA=PD，

當P是矩形邊BC上的一點，同理可得：PA=PD，

∴若P是矩形邊AD(或BC)上的一點，則PA=PD；

(3)成立．

理由如下：

如圖③，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，

∵PB=PC，

∴∠PBC=∠PCB，

∴∠PBA=∠PCD.

在△APB和△DPC中，，

∴△APB≌△DPC，

∴PA=PD.