Question

（2013•煙臺模擬）在平面直角坐標系中，第1個正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作第2個正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作第3個正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規律進行下去，第2011個正方形的面積為（　　）

• A．5(

  3

  2

  )2010
• B．5(

  9

  4

  )2011
• C．5(

  9

  4

  )2009
• D．5(

  3

  2

  )4020

Answer 1

分析：先根據兩對對應角相等的三角形相似，證明△AOD和△A₁BA相似，根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的邊長等于正方形ABCD邊長的

3

2

，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的

3

2

，然后即可求出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系，從而求出第2011個正方形的面積．

解答：解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
又∵在坐標平面內，∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和△A₁BA中，

∠AOD=∠ABA1=90° ∠ADO=∠BAA1

，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴OD：AO=AB：A₁B=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=

3

2

BC，
以此類推A₂C₁=

3

2

A₁C，A₃C₂=

3

2

A₂C₁，…，
即后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的

3

2

倍，
∴第2011個正方形的邊長為（

3

2

）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐標為（1，0），D點坐標為（0，2），
∴BC=AD=

12+22

=

5

，
∴第2011個正方形的面積為[（

3

2

）²⁰¹⁰BC]²=5（

3

2

）⁴⁰²⁰．
故選D．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質與正方形的性質，根據規律推出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系是解題的關鍵，也是難點，本題綜合性較強．