Question

【題目】在中，以為斜邊，作直角，使點落在內，．

（1）如圖1，若，，，點分別為邊的中點，連接，求線段的長；

（2）如圖2，若，把繞點逆時針旋轉一定角度，得到，連接并延長交于點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）見詳解.

【解析】

（1）在直角三角形中，利用銳角三角函數求出AB，由中位線定理即可得到PM；

（2）先利用等角的余角相等判斷出∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ全等，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可得到結論成立；

（1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=，

∴cos∠BAD=，

∴AB=，

∴AC=AB=12，

∵點P、M分別為BC、AB邊的中點，

∴PM=AC=6；

（2）如圖2，在ED上截取EQ=PD，

∵∠ADB=90°，

∴∠BDP+∠ADE=90°，

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∵把△ABD繞點A逆時針旋轉一定角度，得到△ACE，

∴∠AEC=∠ADB=90°

∵∠AED+∠PEC=90°，

∴∠BDP=∠PEC，

在△BDP和△CEQ中，

，

∴△BDP≌△CEQ，

∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，

∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，

∴∠EPC=∠PQC，

∴PC=CQ，

∴BP=CP.