Question

【題目】對于二次函數(shù)y=x2-3x+2和一次函數(shù)y=-2x+4，把y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)稱為這兩個(gè)函數(shù)的“再生二次函數(shù)”，其中t是不為零的實(shí)數(shù)，其圖象記作拋物線L．現(xiàn)有點(diǎn)A(2，0)和拋物線L上的點(diǎn)B(－1，n)，請完成下列任務(wù)：

(1)（嘗試）

當(dāng)t=2時(shí)，拋物線y=t(x2-3x+2)+(1-t)(-2x+4)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為________；

(2)判斷點(diǎn)A是否在拋物線L上；

(3)求n的值．

(4)（發(fā)現(xiàn)）

通過(2)和(3)的演算可知，對于t取任何不為零的實(shí)數(shù)，拋物線L總過定點(diǎn)，坐標(biāo)為________．

(5)（應(yīng)用）

二次函數(shù)y=-3x2+5x+2是二次函數(shù)y=x23x+2和一次函數(shù)y=-2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，求出t的值；如果不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣2）；（2）點(diǎn)A（2，0）在拋物線E上；（3）n=6；（4）拋物線E必過定點(diǎn)（2，0）、（﹣1，6）；（5）滿足條件的所有t的值為：﹣，，﹣，

【解析】

試題

1、【嘗試】（1）將t=2代入拋物線L中，化簡，再配方，即可得到拋物線L的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)x=2代入拋物線L的解析式中進(jìn)行計(jì)算看y是否等于0，即可判斷出點(diǎn)A是否在拋物線L上；

（3）將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x=-1代入拋物線L的解析式中計(jì)算出對應(yīng)的y的值即可得到n的值；

2、【發(fā)現(xiàn)】將拋物線L的解析式展開可得： y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4，由此可得：當(dāng)x=2時(shí)，y=0；當(dāng)x=-1時(shí)，y=6；這就說明拋物線L總過定點(diǎn)A（2，0）和B（-1，6）；

3、【應(yīng)用】由【發(fā)現(xiàn)】可知，二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4的“再生二次函數(shù)”必過點(diǎn)（2，0）和點(diǎn)（-1，6），因此檢驗(yàn)這兩個(gè)點(diǎn)是否都在二次函數(shù)y=﹣3x2+5x+2的圖象上即可作出判斷.

試題解析：

1、【嘗試】

（1）∵將t=2代入拋物線l中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，

∴此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，﹣2）．

（2）∵將x=2代入y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0，

∴點(diǎn)A（2，0）在拋物線l上．

（3）將x=﹣1代入拋物線l的解析式中，得：

n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6．

2、【發(fā)現(xiàn)】

∵將拋物線E的解析式展開，得：

y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4

∴拋物線l必過定點(diǎn)A（2，0）、B（﹣1，6）．

3、【應(yīng)用】

將x=2代入y=﹣3x2+5x+2，y=0，即點(diǎn)A在拋物線上．

將x=﹣1代入y=﹣3x2+5x+2，計(jì)算得：y=﹣6≠6，即拋物線y=﹣3x2+5x+2不經(jīng)過點(diǎn)B，

∴二次函數(shù)y=﹣3x2+5x+2不是二次函數(shù)y=x2﹣3x+2和一次函數(shù)y=﹣2x+4的一個(gè)“再生二次函數(shù)”．