Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：

①四邊形CEDF有可能成為正方形；

②△DFE是等腰直角三角形；

③四邊形CEDF的面積是定值；

④點C到線段EF的最大距離為．

其中正確的結論是（ ）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④

Answer 1

【答案】D．

【解析】

試題分析：①當E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形，故此選項正確；

②①連接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；

∵在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；

∵∠ADE+∠EDC=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，

∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項正確；

③∵△ADE≌△CDF，

∴S△ADE=S△CDF．

∵S四邊形CEDF=S△CED+S△CFD，

∴S四邊形CEDF=S△CED+S△AED，

∴S四邊形CEDF=S△ADC．

∵S△ADC=S△ABC=4．

∴四邊形CEDF的面積是定值4，故本選項正確；

④④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，

當EF∥AB時，∵AE=CF，

∴E，F分別是AC，BC的中點，故EF是△ABC的中位線，

∴EF取最小值==2，

∵CE=CF=2，

∴此時點C到線段EF的最大距離為EF=．故此選項正確．

故選D．