Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A（0，6）、點(diǎn)B（8，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿線段AO以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)O移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿線段BA以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求直線AB的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
由題意，得

b=6 8k+b=0

，
解得

k=- 3 4 b=6

，
所以，直線AB的解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）由AO=6，BO=8得AB=10，
所以AP=t，AQ=10-2t，
①當(dāng)∠APQ=∠AOB時(shí)，△APQ∽△AOB．
所以

t

6

=

10-2t

10

，
解得t=

30

11

（秒），
②當(dāng)∠AQP=∠AOB時(shí)，△AQP∽△AOB．
所以

t

10

=

10-2t

6

，
解得t=

50

13

（秒）；
∴當(dāng)t為

50

13

秒或

30

11

秒時(shí)，△APQ與△AOB相似；

（3）過(guò)點(diǎn)O作QE⊥AO于點(diǎn)E
∵sin∠BAO=

QE

AQ

=

OB

AB

=

4

5

∴QE=AQ•sin∠BAO=

4

5

（10-2t）=8-

8

5

t
∴S_△APQ=

1

2

AP•QE=

1

2

t（8-

8

5

t）=-

4

5

t2+4t=-

4

5

（t-

5

2

）2+5．
∴當(dāng)t=

5

2

時(shí)，△APQ的面積最大，最大面積是5個(gè)平方單位．