Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足為D，OE⊥AC，垂足為E．

（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若OE=cm，AC=cm，求DC的長（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∴∠ADC=∠OCF，

∵AD⊥DC，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCF=90°，

∴OC⊥CD，

∵OC為半徑，

∴CD是⊙O的切線．

（2）

∵OE⊥AC，

∴AE=AC=cm，

在Rt△AOE中，AO==4cm，

由1得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，

∴△AOE∽△ACD，

∴，

即，

∴DC=cm．

【解析】
【考點精析】掌握切線的判定定理和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．