Question

如圖（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，點P由B出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1 cm／s；點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm／s；連接PQ。若設運動的時間為t（s）（0＜t＜2），根據以上信息，解答下列問題：
（1）當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）設四邊形PQCB的面積為y（cm²），直接寫出y與t之間的函數關系式；
（3）在點P、點Q的移動過程中，如果將△APQ沿其一邊所在直線翻折，翻折后的三角形與△APQ組成一個四邊形，那么是否存在某一時刻t，使組成的四邊形為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB==5，
由題意知：AP=5-t，AQ=2t，
當PQ∥BC，則△AQP∽ACB，
∴，
∴，t=，＜2，
當PQ⊥BC，則△APQ∽ACB，
∴，
∴，
∴t=，＜2，
∴當t=或t=時，以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似；
（2）y=；
（3）若組成的四邊形為菱形，則△APQ必為等腰三角形，
①當沿AP翻折時，AQ=PQ，過Q作QD⊥AP于點D，則點D必為AP的中點，
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB，
∴，
即，解得t=，＜2，
②當沿PQ翻折時，AQ=AP，2t=5-t，
解得t=＜2
③當沿AQ翻折時，PQ=AP，過P點作PH⊥AC于H，則點H必為AQ的中點，
∴Rt△AHP∽Rt△ACB，
∴
即，解得：t=＞2（不合題意應舍去）
綜上所述，當 t=或t=時，所形成的四邊形為菱形。