Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與直線y=25有公共點，且僅當-

1

2

＜x＜

1

3

時拋物線在x軸上方，求a、b、c的取值范圍．

Answer 1

分析：根據題意y=ax²+bx+c的圖象與直線y=25有公共點，即ax²+bx+c-25=0有解，可得△=b²-4a（c-25）≥0，再根據不等式ax²+bx+c＞0的解是-

1

2

＜x＜

1

3

，結合一元二次不等式的解集的性質，可得b、c與a的關系，代入△=b²-4a（c-25）≥0中，可得答案．

解答：解：∵拋物線y=ax²+bx+c與直線y=25有公共點，
∴依題意ax²+bx+c-25=0有解，
故△=b²-4a（c-25）≥0，
又不等式ax²+bx+c＞0的解是：-

1

2

＜x＜

1

3

，
∴a＜0且有x₁+x₂=-

b

a

=-

1

6

，x₁x₂=

c

a

=-

1

6

．
∴b=

1

6

a，c=-

1

6

a．
∴b=-c，代入△≥0得c²+24c（c-25）≥0．
∴c≥24．
故得a、b、c的取值范圍為a≤-144，b≤-24，c≥24．

點評：本題主要考查了二次函數與不等式的知識點，二次方程ax²+bx+c=0，二次不等式ax²+bx+c＞0（或＜0）與二次函數y=ax²+bx+c的圖象聯系比較密切，要注意利用圖象的直觀性來解二次不等式和二次方程的問題．