Question

【題目】如圖，已知A，B兩點在直線1的同側，點A′與A關于直線l對稱，連接A′B交l于點P．若A′B=a。

（1）求AP+PB。
（2）若點M是直線l上異于點P的任意一點，求證：AM+MB＞AP+PB。

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A′與A關于直線l對稱，∴PA=PA′
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=a
（2）解：∵點A′與A關于直線l對稱，∴MA=MA′
∴AM+BM=MA′+MB
由（1）可知：AP+PB=A′B
由兩點之間線段最短可知：MA′+MB＞A′B，即AM+MB＞AP+PB
【解析】（1）軸對稱的性質有：如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線 ， 線段的垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等。根據性質可得PA+PB=PA′+PB=A′B=a。
（2）根據性質有MA=MA′，所以AM+BM=MA′+MB，由（1）可知：AP+PB=A′B，根據兩點之間線段最短可得結論。