Question

【題目】在ABCD中，E、F分別是AD、BC上的點，將平行四邊形ABCD沿EF所在直線翻折，使點B與點D重合，且點A落在點A′處．

（1）求證：△A′ED≌△CFD；

（2）連結BE，若∠EBF=60°，EF=3，求四邊形BFDE的面積．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

由由翻折可知：AB=A′D，∠ABC=∠A′DF，∠EFB=∠EFD，由平行四邊形的性質知，AB=CD，∠ABC=∠ADC,進一步可證∠FDC=∠A′DE, A′D=CD.再結合平行線的性質說明ED=DF，即可證明△A′ED≌△CFD；

（2）先證明四邊形EBFD為菱形，從而BE=BF=3.過點E作EH⊥BC于點H，根據銳角三角函數的知識求出EH的長，然后利用三角形面積公式計算即可.

（1）證明：由翻折可知：

AB=A′D，∠ABC=∠A′DF，∠EFB=∠EFD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，∠ABC=∠ADC,

∴∠ADC=∠A′DF,

∴∠FDC=∠A′DE,

∵AB=A′D，AB=CD，

∴A′D=CD.

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB，

∵∠EFB=∠EFD，

∴∠DEF=∠EFD，

∴ED=DF，

∴△A′ED≌△CFD；

（2）解：∵AD∥BC，A′B∥DF，

∴四邊形EBFD為平行四邊形.

由（1）DE=DF，

∴四邊形EBFD為菱形.

∵∠EBF=60°，

∴△BEF為菱形.

∵EF=3，

∴BE=BF=3.

過點E作EH⊥BC于點H，

∴四邊形BFDE的面積為：sin60°AEBF=.