Question

已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，AD=AE．求證：BD=CE．
下面是某同學的證明過程，請你閱讀下面解答過程，并回答問題．
證明：∵AB=AC
∴∠B=∠C，在△ABD與△ACE中
AB=AC
∠B=∠C
AD=AE
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE
（1）找一找這種證明方法的問題在哪里？
（2）你能說明這種證明方法為什么有問題嗎？（嘗試畫出反例）
（3）這種證明方法一定錯誤嗎？有哪些情況可以正確，請畫圖并嘗試證明．

Answer 1

分析：（1）根據全等三角形的判定得出證明全等有誤SSA；
（2）根據已知畫出圖形分析即可；
（3）當∠A=90°時以及當∠A是鈍角時，分別根據全等三角形的判定與性質得出即可．

解答：解：（1）證明全等有誤SSA；
      
（2）反例：如圖△ABD與△ABC，∠A=∠A，AB=AB，BD=BC，但是兩個三角形很明顯不全等．
          
（3）其它特殊情況下全等：
ⅰ）當∠A=90°時，兩個三角形全等，而且就是我們曾經學習過的HL（具體證明方法，由勾股定理及構造等腰三角形法）；
ⅱ）當∠A是鈍角時，如圖：∠CAB=∠FDE，FD=CA，FE=CB，求證：△FDE≌△CAB
證明：延長ED，過點F作FI⊥DE于點I，延長BA，過點C作CH⊥AB于點H，
∵∠CAB=∠FDE，
∴∠CAH=∠FDI，
在△FID和△CHA中，

∠FID=∠CHA=90° ∠FDI=∠CAH FD=CA

，
∴△FID≌△CHA（AAS），
∠FI=CH，DI=HA，
在Rt△FIE和Rt△CHB中，

FI=CH EF=BC

，
∴Rt△FIE≌Rt△CHB，
∴EI=HB，
∴DE=AB，
在△FDE和△CAB中，

EF=CB FD=CA DE=AB

，
∴△FDE≌△CAB（SSS），
結論：當兩個三角滿足“SSA”時，不一定全等．當對應角為銳角時，兩個三角形不一定全等；當對應角為直角或鈍角時，兩個三角形一定全等．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，利用分類討論得出以及數形結合結合是解題關鍵．