Question

【題目】如圖，PA 為⊙O 的切線，A 為切點，過 A 作弦 AB⊥OP，垂足為點 C，延長BO 與 PA 的延長線交于點 D

(1) 求證：PB 為⊙O 的切線

(2) 若 OB＝3，OD＝5，求 PB 的長

Answer 1

【答案】(1) 見詳解；(2) PB=6.

【解析】

(1) 連接OA，根據垂徑定理，得到PB=PA，可證明△PAO≌△PBO，因為PA 為⊙O 的切線，所以∠PBO=∠PAO=90°，題目得證；

(2)用勾股定理算出AD，由(1)中△PAO≌△PBO，得到PA=PB，設PB=x，△BDP為直角三角形，利用勾股定理列出等式，求解得出x，即為PB的長.

(1)證明：連接OA，

∵PA為⊙O的切線，

∴OA⊥PA

∴∠PAO=90°，

∵OA=OB，OP⊥AB于C，

∴PB=PA，

∴△PAO≌△PBO，

∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB為⊙O的切線；

(2)在直角三角形OAD中，

，

BD=OB+OD=8，

∵△PAO≌△PBO，

∴PA=PB，

設PB=x，

∵PB 為⊙O 的切線，

∴∠DBP=90°，△BDP為直角三角形，

∴BD+BP=DP2，即8+x=(4+x)，

解得x=6，

∴PB=6.