Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）點P在拋物線的對稱軸上，當△ACP的周長最小時，求出點P的坐標；

（3）若點M為拋物線第四象限內一點，連接BC、CM、BM，求當△BCM的面積最大時點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=（x﹣）2﹣，拋物線的頂點坐標為（，﹣），（3）點M的坐標為（1，－1）.

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）確定出當△ACP的周長最小時，點P就是BC和對稱軸的交點，利用兩點間的距離公式計算即可．

（3）作出輔助線，利用tan∠MDN=2或，建立關于點N的橫坐標的方程，求出即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣1（a≠0）經過A（﹣1，0），B（2，0）兩點，

∴

∴，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1=（x﹣）2﹣，

∴拋物線的頂點坐標為（，﹣），

（2）如圖1，

連接BC與拋物線對稱軸的交點就是點P，連接AC，AP，

∵點A，B關于拋物線對稱軸對稱，

∴PA=PB，

∵B（2，0），C（0，﹣1），

∴直線BC解析式為y=x﹣1，

∵點P在拋物線對稱軸上，

∴點P的橫坐標為，

∴點P的縱坐標為﹣，

∴P（，﹣），

（3）設M（x， ），過點M作x軸的垂線交BC于點N，則點N（x， ）

∴==

故當x=1時，S△BMC面積最大，此時，

所以當△BCM的面積最大時點M的坐標為（1，－1）.