Question

【題目】已知，如圖，將∠D＝60°的菱形ABCD沿對角線AC剪開，將△ADC沿射線DC方向平移，得到△BCE. 點M為BC邊上一點（點M不與點B、點C重合），將射線AM繞點A逆時針旋轉60°，與EB的延長線交于點N，連接MN.

（1）求證：∠ANB＝∠AMC；

（2）探究△AMN的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）①先由菱形可知四邊相等，再由∠D=60°得等邊△ADC和等邊△ABC，則對角線AC與四邊都相等，利用ASA證明△ANB≌△AMC，得結論；

②根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得出：△AMN是等邊三角形；

試題解析：（1）∵ABCD為菱形，

∴AB=AD=CD=BC，

又∵∠D=60°，

∴△ADC為等邊三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD，

∴AC=AB=BC，

又∵△BCE≌△ADC，∠CBE=∠DAC=60°，

∴∠CBN=120°

∵∠ANB=360°－∠CBN－∠MAN－∠BMA=180°－∠BMA，∠AMC=180°－∠BMA

∴∠ANB=∠AMC.

（2）∵AC=AB=BC，

∴△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°.

∵∠MAN=60°，

∴∠MAN=∠BAC，

∴∠MAN－∠BAM=∠BAC－∠BAM，即∠BAN=∠CAM，

又∵∠ANB=∠AMC，AB=AC，

∴△BAN≌△CAM，

∴AN=AM,

∵∠MAN=60°，

∴△AMN為等邊三角形.